三角函数的定义意义直观明确且中学阶段就已经十分熟悉，这里着重提一下双曲函数，其定义的推导可见参考资料
| 双曲正弦 | $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ |
|---|---|
| 双曲余弦 | $\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ |
| 双曲正切 | $\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ |
| 双曲余切 | $\coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$ |
| 双曲正割 | $\text{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)} = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$ |
| 双曲余割 | $\text{csch}(x) = \frac{1}{\sinh(x)} = \frac{2}{e^x - e^{-x}}$ |
三角函数是定义在单位圆上的，参数双曲函数是定义在单位等轴双曲线上的。
换个视角就是，圆和椭圆有三角函数形式的参数方程，双曲线有双曲函数形式的参数方程。
单位圆的参数方程如下，参数$\theta$称为圆角，在弧度制下恰为旋转角的大小
$$ x^2 + y^2 = 1 \\ x = \cos\theta, y = \sin\theta,\theta \in [0, 2\pi] \\ $$
单位等轴双曲线的参数方程如下，参数$\alpha$称为双曲角，定义为双曲扇形的面积的两倍（由原点，双曲线与横轴交点和双曲线上一点组成）
$$ x^2 - y^2 = 1\\ x = cosh\alpha, y = sinh\alpha, \alpha \in (-\infty, \infty) $$
对$x$进行复换元（将$x$代换为$ix$），再结合欧拉公式$e^{ix} = \cos x + i \sin x$，可以得到
$$ \begin{align*} \sinh x &= -i \sin ix \\ \cosh x &= \cos ix \\ \tanh x &= -i \tan ix \\ \coth x &= i \cot ix \\ \text{sech}\,x &= \sec ix \\ \text{csch}\,x &= i \csc ix \end{align*} $$
可见，双曲函数和三角函数在复平面上仅仅差一个正交旋转。
| 公式名 | 三角函数 | 双曲函数 |
|---|---|---|
| 恒等式 | $\sin^2x + \cos^2x = 1$ | |
| $1 + \tan^2x = \sec^2 x$ | ||
| $1 + \cot^2x = \csc^2x$ | $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ | |
| $1 - \tanh^2 x = sech^2 x$ | ||
| $\coth^2 x - 1 = csch^2 x$ | ||
| 和差角公式 | $\sin(x + y) = \sin(x) \cos(y) + \cos(x) \sin(y)\\ | |
| \cos(x + y) = \cos(x) \cos(y) - \sin(x) \sin(y)\\ | ||
| \sin(x - y) = \sin(x) \cos(y) - \cos(x) \sin(y)\\ | ||
| \cos(x - y) = \cos(x) \cos(y) + \sin(x) \sin(y)$ | $\sinh(x + y) = \sinh(x) \cosh(y) + \cosh(x) \sinh(y)\\ | |
| \cosh(x + y) = \cosh(x) \cosh(y) + \sinh(x) \sinh(y)\\ | ||
| \sinh(x - y) = \sinh(x) \cosh(y) - \cosh(x) \sinh(y)\\ | ||
| \cosh(x - y) = \cosh(x) \cosh(y) - \sinh(x) \sinh(y)$ | ||
| 二倍角公式 | $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)\\ | |
| \cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x = 2 \cos^2(x) - 1 = 1 - 2 \sin^2(x)\\ | ||
| \tan(2x) = \frac{2 \tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$ | $\sinh(2x) = 2 \sinh(x) \cosh(x)\\ | |
| \cosh(2x) = \cosh^2(x) + \sinh^2(x) = 2 \cosh^2(x) - 1 = 2 \sinh^2(x) + 1\\ | ||
| \tanh(2x) = \frac{2 \tanh(x)}{1 + \tanh^2(x)}$ | ||
| 半角公式 | $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\\ | |
| \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ | $\sinh^2(x) = \frac{\cosh(2x) - 1}{2}\\ | |
| \cosh^2(x) = \frac{\cosh(2x) + 1}{2}$ | ||
| 辅助角公式 | $a \sin(x) + b \cos(x) = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x + \varphi),\tan\varphi = \frac{b}{a}$ | \ |
| 积化和差，和差化积 | $\sin(x) \cos(y) = \frac{1}{2} \left[ \sin(x + y) + \sin(x - y) \right] \\ | |
| \cos(x) \sin(y) = \frac{1}{2} \left[ \sin(x + y) - \sin(x - y) \right] \\ | ||
| \cos(x) \cos(y) = \frac{1}{2} \left[ \cos(x + y) + \cos(x - y) \right] \\ | ||
| \sin(x) \sin(y) = -\frac{1}{2} \left[ \cos(x + y) - \cos(x - y) \right]$ |
$\sin(x) + \sin(y) = 2 \sin\left(\frac{x + y}{2}\right) \cos\left(\frac{x - y}{2}\right) \\ \sin(x) - \sin(y) = 2\cos\left(\frac{x + y}{2}\right) \sin\left(\frac{x - y}{2}\right) \\ \cos(x) + \cos(y) = 2\cos\left(\frac{x + y}{2}\right) \cos\left(\frac{x - y}{2}\right) \\ \cos(x) - \cos(y) = -2\sin\left(\frac{x + y}{2}\right) \sin\left(\frac{x - y}{2}\right)$ | \ |